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第一百零五章 魔方矩阵

作品:万能数据  |  分类:科幻小说  |  作者:鸿尘逍遥

    魔方矩阵,又称幻方,纵横图。

    是指由1~N^2共N^2个数排列成的有相同的行数和列数,并在每行每列、对角线上的和都相等的一个N阶矩阵。

    在《射雕》中郭黄二人被裘千仞追到黑龙潭,躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题:数字1~9填到三行三列的表格中,要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年,被黄蓉一下子就答出来了。

    4 9 2

    3 5 7

    8 1 6

    这就是一个最简单的三阶平面魔方矩阵。

    而今天老唐出的这道题,是更加高难度的五阶魔方平面矩阵。

    运算难度,不知道比三阶魔方矩阵高了多少。

    不过,魔方矩阵既然被数学家们定义出来,那自然有一套起独特的运算规律。

    根据N的数值,可以分为三种情况。

    当N为奇数,当N为4的倍数,当N为其他偶数!

    老唐这道题是求5阶平面魔方,很显然,可以套用N为奇数的运算规律。

    程诺在脑海里默默回忆起当N为奇数时平面魔方的填写规律。

    “当 N 为奇数时

    ①将1放在第一行中间一列;

    ②从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放:

    按 45°方向行走,如向右上

    每一个数存放的行比前一个数的行数减1,列数减1

    ③如果行列范围超出矩阵范围,则回绕。

    例如1在第1行,则2应放在最下一行,列数同样减1;

    ④如果按上面规则确定的位置上已有数,或上一个数是第1行第n列时,

    则把下一个数放在上一个数的下面。”(注①)

    “所以说,正确的答案应该是……”

    程诺在自己的脑海里构建宫格模型。很快,便将25个数字填入其中。

    唰唰唰唰~~

    在同学们眼中,只见程诺没有任何的犹豫,拿着粉笔在黑板上笔走龙蛇,粉屑飞扬。中间没有任何停顿,一气呵成!

    举手抬足间,透露着无比强大的自信。

    “好了,老师,我填完了。”程诺转身,将粉笔头扔在讲桌上,微笑着对老唐说道。

    “好,我看一下,你填的对不对?”老唐抱着一种好奇心,看向黑板上已经被填满的宫格。

    15 8 1 24 17

    16 14 7 5 23

    22 20 13 6 4

    3 21 19 12 10

    9 2 25 18 11

    全部正确!!

    25个数字的位置,和正确答案如出一辙。

    每一行,每一列,每一条对角线的和,都是65!~

    老唐惊讶的看了神色如常的程诺一眼。然后在全班同学满含期待的目光下宣布,“程诺同学的答案……是正确的!”

    哗~~

    全班同学尽皆哗然。

    果然啊,程诺这个家伙,还是一如既往的强悍呀!

    比不过,实在是比不过。

    他们和程诺的大脑配置,简直不在一个水平层面上。

    学霸,是只配被学渣所仰望的存在!

    老唐望着程诺说道,“既然程诺同学是第一个把这道题目解出来的同学,那么我那份‘特殊’奖励就归程诺同学所有了。程诺,你能不能给大家讲一下你是通过何种方法把这题解出来的?”

    “没问题。”程诺点头,转身指着那道题道,“其实这道题很简单的。”

    这道题……很简单?

    好吧,你是学霸,你说了算。

    全班同学翻翻白眼。

    程诺耸耸肩,神色如常的继续讲道。“在讲这道题之前,我先要给大家讲一个模型,叫做魔方矩阵!”

    为什么程诺能知道魔方矩阵这个东西?

    按理说,高中方面,不会涉及这方面的知识。

    但程诺是谁?他可是学霸!

    学霸的一大特征就是,永远不会满足只学习课内那点知识!

    还记得程诺从书店买回的那一大堆关于世界数学难题的书吗?其中一个难题的推理过程中,就用到了这个魔方矩阵。程诺就顺便将它记下来了。

    程诺站在讲台上,将魔方矩阵的三种解法都讲了一遍。

    “听了这个定理之后,大家是不是觉得这道题简单了许多。首先,第一行中间那个数字肯定是1,数字2的位置……”

    讲台下同学们听得头晕目眩,不明觉厉,程诺倒是在讲台上讲的津津有味。

    “好了,我想说的就是这些,谢谢大家!”说完,程诺走下讲台。

    啪啪啪~~

    全班同学下意识的鼓掌。

    老唐同志待程诺走下讲台后,站在讲桌前一脸尴尬。

    妹的!把我想要讲的都讲完了,让我讲啥?!

    本来,老唐同志就想利用这个题目引出魔方矩阵,在高考前发散一下学生的思维。

    可现在……

    呃……好吧,程诺把魔方矩阵讲的比我还详细,那我这个当老师的还是不献丑了吧。

    “好了。同学们,我们拿出上周发的那套衡水真题,我们讲一下那套试卷。”老唐尴尬的咳嗽了一下,也不问同学们有没有听懂了,急忙转移话题道。

    “哇,穆冷,程诺果然厉害呢。这样的题都会!”苏小小的明亮的眼里充满了小星星。

    穆冷的嘴角微微上扬,“这才是那个……桀骜的他啊!”

    …………

    “好了,下课。穆冷,程诺,你们两个跟我来一趟办公室。”

    伴随着下课铃声,老唐刚好把最后一道题讲完。

    程诺和穆冷对视一眼,皆是一头雾水,不知道老唐找自己有什么事,不过还是老老实实的跟着老唐走到办公室。

    下楼梯的时候,程诺凑到穆冷身边,语气中略带担忧的小声说道,“冷姐,你说是不是我们两个谈恋爱的事被老唐发现了?”

    穆冷淡淡的瞥了程诺一眼,一字一顿的开口:“你-说-呢!”

    程诺缩了缩脖子,一脸讪讪,“开玩笑,开玩笑。”

    “不过,冷姐,我们两个的事你真的不再考虑考虑吗?你看,你是学霸,我也是学霸,学霸配学霸,我们两个可谓是门当户对。生出来的孩子也一定是学霸!”程诺握紧双拳说道。

    穆冷抿了抿嘴唇,模棱两可的说道,“高考后,我们在谈论这个问题吧。”

    “好,我等你。”程诺淡淡一笑。

    ………………

    注①:魔方矩阵另外两种情况的算法。(正文字数已达2000字,这不是水字数,这是为了帮助大家学会这道题!!请大家理解作者的良苦用心。)

    (2)当N为4的倍数时

    采用对称元素交换法。

    首先把数1到n×n按从上至下,从左到右顺序填入矩阵

    然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上的数关于大方阵中心作中心对称交换(注意是各各子矩阵对角线上面的数),即a(i,j)与a(n+1-i,n+1-j)交换,所有其它位置上的数不变。(或者将对角线不变,其它位置对称交换也可)

    (3)当N 为其它偶数时

    当n为非4倍数的偶数(即4n+2形)时:首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。

    按上述奇数阶魔方给分解的4个子方阵对应赋值

    上左子阵最小(i),下右子阵次小(i+v),下左子阵最大(i+3v),上右子阵次大(i+2v)

    即4个子方阵对应元素相差v,其中v=n*n/4

    四个子矩阵由小到大排列方式为①③④②

    然后作相应的元素交换:a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做对应交换(j<t-1或j>n-t+1),

    注意其中j可以去零。

    a(t-1,0)与a(t+u-1,0);a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换

    其中u=n/2,t=(n+2)/4 上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。

    …………

    PS:解题步骤我已经详细到这种程度了。如果你们再不会……我也没办法了。